报告题目：有理凸多胞形格点计数的组合方法

报告时间：腾讯会议：936-611-496   4月17日 下午15：00-16：00

报告摘要：有理凸多胞形中的格点计数问题，即线性丢番图方程组的整数解计数，是代数组合学与计算几何中的一个重要课题，也是本报告的核心内容。在计算几何方向，Barvinok 于 1994 年提出了在固定维数下计算格点数的多项式时间算法。该算法随后由 De Loera 等人于 2004 年以 C 语言软件包 LattE 实现，并经过多年发展，成为该领域广泛使用的主流工具。然而，高维情况下的格点计数仍存在计算挑战。在代数组合学方向，MacMahon 分拆分析已成为处理线性丢番图问题的常用框架。其核心是计算 Elliott–有理函数的常数项，其中包含有理凸多胞形格点计数与 Ehrhart 级数计算作为特例，与计算几何方向有密切交叉。

本报告将介绍我们团队在这一交叉领域的工作：我们将几何中的“锥体”概念引入代数组合框架，并通过以下三步系统处理上述核心问题：i) 分解为单纯锥；ii) 进一步分解为幺模单纯锥；iii) 消除松弛变量。我们将汇报团队在这三个步骤中分别取得的研究进展。新算法与当前主流工具 LattE 相比表现出明显优势，并且我们还发现了一类新的多胞形，可在多项式时间内完成格点计数。

个人简介：辛国策，首都师范大学91黑料 ，教授，博士生导师。主要从事计数组合学和代数组合学方向的研究，已在《Adv. Math.》、《Math. Comp.》、《Transaction of AMS》、《J. Combin. Theory Ser. A》、《Int. Math. Res. Not. IMRN》、《Adv. in Appl. Math.》、《J. Symbolic Comput.》等国际学术期刊发表文章70余篇，涉及线性丢番图方程，格路计数，Hankel行列式计算等。发展了以迭代Laurent级数域为基础的部分分式法，该方法在常数项计算，分拆理论，对称函数论等方向有广泛的应用，得到了国内外同行的高度评价。特别是美国数学会Steele 重大贡献奖和ICA’s Euler奖获得者Doron Zeilberger评价其算法为“卓越的”。此外，在代数组合领域做出了一系列有影响的工作。尤其是在Shuffle猜想方面的一篇文章中，创造性地将代数几何中的有理型Shuffle猜想引入代数组合中，并推广到非互素的情形。这是递归证明有理型Shuffle猜想的基础，它推进了Shuffle猜想的研究，得到了国内外同行广泛的关注。